教えて！住まいの先生

7月末で引っ越すことになってます。今住んでるところがちょうど7月末で契約が切れるので2ヶ月前(5月末)ぐらいに不動産屋に更新しない旨を伝えました。今住んでるところは解約は1か月前に言う契約です。
たしかにまだ何日に引っ越すという正確な日は伝えてませんでした。不動産屋も5月末時点でまた１ヶ月後(6月末)に日にち決まったら電話くださいと言ってました。なので6月末で電話しようと思っていましたがバタバタして忘れてしまいました。更新しないと伝えてあるので安心してたら今日更新の書類がポストに入ってました。不思議に思い電話すると、｢更新しないという電話だけではダメ、ちゃんと何日という連絡がなかったから解約の手続き出来てない。今日の1ヶ月後に解約の精算になるから8/1~9日分は家賃払うことになる｣と言われました。｢あと7月末で契約も切れるからもう一度更新してもらう、9日間なので更新料はいらないけど、契約書はかわしてもらう。｣と言われました。こちらも悪いかもしれませんが、不動産屋もおかしいと思っています。納得できません。1度更新しないと電話してるのに引っ越してからの家賃も払わなきゃいけないものでしょうか？