教えて！住まいの先生

ボールタップ交換でなおるはずです。
給水を外すので工具はもちろん、交換施工や漏水チェックに関する知識が必要です。
年数的に排水弁（レバー操作で大小流し分けする弁）も交換時期が来ていると思われます。イタチごっこをしないためにセットで交換するのが普通です。
これかな？という部品のリンクを参考に貼り付けますが、部品の見た目が違っていれば間違いなのでスルーしてください。
知識がない方の工事は漏水事故の恐れがあるので自己責任でお願いします。
業者に依頼する場合はメーカーメンテナンスが安く確実で無難です。
普通の水道屋に依頼すると、年数的に便器交換（耐用年数的にはおそらく正論ですし、予算があるならぜひ便器交換がおすすめです）からすすめてきますし、修理は工賃が高額（修理２～３回の費用で便器交換できたりします）なことが多いです。
もし賃貸でしたら自分の負担でなおす場所ではないしリスクしかないので家主や管理者に相談してください。
https://www.amazon.co.jp/TOTO-%E6%A8%AA%E5%BD%A2%E3%83%AD%E3%83%BC%E3%82%BF%E3%83%B3%E3%82%AF%E7%94%A8%E3%83%9C%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%82%BF%E3%83%83%E3%83%97-THYS6A-%E3%83%AD%E3%83%BC%E3%82%BF%E3%83%B3%E3%82%AF%E7%94%A8%E6%8E%92%E6%B0%B4%E5%BC%81%E3%83%90%E3%83%AB%E3%83%96-THY444-6R%E3%80%90%E3%82%BB%E3%83%83%E3%83%88%E8%B2%B7%E3%81%84%E3%80%91/dp/B093127TD9

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キャップのようなものはオーバーフロー用で
手洗い用のホースはその左にあるホースじゃないんですかね？
まずその白いホースを確認してみて下さい
手洗い用のホースは基本的にジャバラです

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「黒いホースと黒い下向きのキャップのようなところから水が出て」

黒いホースが手洗い用のパーツに繋がるハズが、抜けているのではありませんか？

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おそらくはボールタップ部の不良かフィルターの詰まりの可能性があります。
ボールタップ自体を交換すれば問題は解決はします。

タンクの品番がわかれば交換する部材の品番を特定できます。
汎用のボールタップもホームセンターで販売していますが、
タンクの形状に依って使える場合と使えない場合もあります。
一度メーカーとタンクの品番を確認できるなら、その情報もアップされたら
明確な答えがかえってくると思います。

https://sq.jbr.co.jp/library/467

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